Contaje en Ajedrez
P1)¿Cuántas son las posiciones con los dos reyes sobre el tablero? ¿Cuántas son las posiciones de los reyes sobre el tablero, obedeciendo las reglas del ajedrez?
Bueno, para cada casilla que yo disponga uno de los reyes, hay 63 casillas disponible para el otro. Por el princípio multiplicativo del método de contaje, hay entonces 64x63 = 4.032 posiciones. Pero ni todas estas posiciones obedecen las reglas del ajedrez, o sea, es ilegal cuando los reyes se encuentran en casillas adjacentes. Por lo tanto, debemos contar cuantas son estas posiciones de los reyes sobre el tablero y restar de las 4.032 calculadas previamente. Pero para eso, debemos dividir en casos. Antes de dividir en casos, los reyes en casillas adjacentes sobre el tablero es semejante a piezas (o fichas) de dominó sobre dos casas, sea en horizontal, vertical o diagonal. Como cuando contamos cuantas son las posiciones de cada ficha no nos importamos con las posiciones izquierda y derecha, arriba, abajo, pero los reyes son de distintos colores y pueden permutar, entonces para cada ficha que se pone sobre el tablero, hay que permutar, pues en realidad estamos permutando los reyes. Así se sigue:
Filas: 8x7x2!
Columnas: 8x7x2!
Filas y columnas: 2x8x7x2!
Explicando los números:
8:= número de filas o columnas
7:= número de posiciones de "las fichas de dominó" en cada línea o columna
2!:= hay que considerar que los reyes permutan "sobre las fichas"
2:= filas y columnas
Hay 26 diagonales en un tablero de ajedrez.
4 con 2 casillas
4 con 3 casillas
4 con 4 casillas
4 con 5 casillas
4 con 6 casillas
4 con 7 casillas
2 con 8 casillas
Total: 6x4+2 = 26 diagonales.
En la diagonal con 2, la ficha de dominó cabe una vez. En la de 3, cabe en dos lugares distintos, en general, la ficha cabe en n-1 lugares distintos en una fila, columna o diagonal de n casillas.
Entonces la cuenta para saber cuántas son las posiciones de los reyes sobre el tablero que obedezcan las reglas del ajedrez es:
64x63 - ( 2x8x7x2! + 4x1x2! + 4x2x2! + 4x3x2! + 4x4x2! + 4x5x2! + 4x6x2! + 2x7x2!)
= 3.612 posiciones legales.
