수의 체계
수의 체계.
수학에서 다양한 유형의 수를 분류하고 이해하는 데 사용되는 체계.
제가 좋아하는 수학 분야기도 하죠.
쓸 데 없는 서론이 길어지면 안 되니 지금 바로 수의 체계로 떠나봅시다!
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초등학교 1학년, 2학년 때는 오직 0과 자연수만을 배웁니다.(0,1,2,10,37,100,291 등등...)
초등학교 3학년에는 분수와 소수를 배우죠.(0.5, 0.45, 4/5, 3/7 등등...)
여기까지는 아마 다 아실 겁니다. 그러므로 부가 설명을 하지 않도록 하죠.
체닷 연령대가 그래도 3학년은 넘지... 않을까요?(3학년 안 되는 분들 비하하는 거 아님)
초등학교 4학년, 5학년, 6학년 때는 이제까지 배웠던 것을 이용한 사칙연산(예: 분수의 곱셈, 나눗셈 등등...)을 배웁니다. 수의 체계의 확장이라고는 보기 어렵죠
중학교 1학년 때,
체닷에는 중1이 안 되시는 분들이 많을 거기 때문에 여기서부터는 설명을 해드리도록 하겠습니다.
중1 때는 음수, 양수, 정수, 유리수 등의 개념을 배우게 됩니다.
음수는 0보다 작은 수, 즉 - 부호가 붙는 수를 의미합니다(이 때, - 부호는 생략이 불가하고 음수의 예로는 -3, -4, -0.5 등이 있습니다. 또한 음수에서는 절댓값이 클 수록 작은 수입니다.)
양수는 0보다 큰 수, 즉 + 부호가 붙는 수를 의미하는데, 보통 + 부호는 생략합니다(예:0.5, +0.9, 30, +90 등이 양수입니다)
정수는 자연수, 자연수에 - 부호를 붙인 음수 및 0을 통틀어 이르는 말입니다. 즉, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 등을 말하죠.
유리수는 p/q(단, p,q는 서로소인 정수, q≠0) 형태로 나타내어지는 수를 말합니다.
(예: 0.5, 4/5, 2, 0)로, 중1 때까지는 유리수까지만을 배웁니다.
참고로 모든 정수는 유리수입니다.
이제 중2로 가볼까요?
중2에서는 유한소수라는 개념과, 순환소수라는 개념을 배웁니다.
유한소수는 간단합니다.
유리수 중 소수점 이하의 자릿수가 한정된 수를 말하죠. 즉, 소수점 아래 숫자가 무한히 이어지지 않고 유한한 개수의 자리만을 가지는 숫자입니다.(예:0.25, 0.738, 0.9 등)
순환소수는 소수점 이하의 숫자들이 일정한 패턴으로 무한하게 반복되는 소수를 말합니다.
예를 들어 1/3을 소수로 나타내면 0.3333333... 인데 여기서 3이라는 숫자가 무한 반복되므로 0.3333333... 은 순환소수이고, 순환마디는 3입니다.
모든 순환소수는 분수로 나타낼 수 있고, 나타내는 방법은 다음과 같습니다.
일단 0.144444...라는 순환소수가 있다 생각합시다. 이 순환소수를 a라 두면 10a=1.444444...가 되고 100a=14.444444...가 됩니다. 100a-10a=14.444444...-1.444444...=14-1=13이 됩니다. 여기서 90a=13이니 a=13/90이 됩니다.
중2의 수준에서는 이런 식으로 순환소수를 유리수로 나타내는 것을 증명할 수 있으나, 나중에는 다른 방법으로도 모든 순환소수는 분수로 나타낼 수 있다는 것을 증명할 수 있습니다.
중2까지도 배운 수의 체계는 유리수 뿐입니다.. 어쩐지 답답하네요.
그럼 중3으로 가볼까요?
중3에는 무리수와 실수를 배웁니다
무리수는 분모와 분자가 모두 정수인 분수로 나타낼 수 없는 수를 말합니다.
대표적으로 √2(루트 2), π(파이), e(자연로그의 밑)
등이 있습니다.
실수는 무리수와 유리수를 포함한 말입니다. 뒤에 다시 후술하겠습니다.
그럼 실질적인 수의 체계의 마지막이자 이 게시물의 마지막이라고 볼 수 있는 고1로 가볼까요?
고1에는 허수와 복소수를 배웁니다
허수는 제곱하여 음수가 되는 수를 의미합니다.
일반적으로 우리가 알고 있는 실수(예: 1, √2, 0.5, -3 등등)는 제곱했을 때 음수가 될 수 없습니다.
하지만 수학에서는 이런 상황을 다루기 위해 허수라는 개념을 도입했습니다
허수의 기본 단위는 i로 나타내며, i^2=-1을 만족하는 수입니다. 즉 i를 제곱하면 -1이 되는 거죠.
(허수의 예: 4+5i, 3i, i 등등...)
자, 우리는 이제 크게 실수와 허수를 배웠습니다.
이 실수와 허수를 모두 포함하는 수는 뭔지 궁금하지 않나요?
바로 복소수입니다
여기까지만 배우면 실질적으로 고등학교까지 배우는 모든 수의 체계를 마친 건데요, 일단 서론은 빠지고 복소수에 대해 알려드리겠습니다
복소수는 실수와 허수를 모두 포함하며, 실수 체계를 확장함으로써 얻어지는 수로 보통 a+bi의 꼴로 표현합니다.
이 때 a와 b는 실수이며, i는 i^2=-1을 만족시키는 아까 서술했던 허수 단위입니다.
복소수 z=a+bi에서, b≠0이라면 허수가 되고, b=0이라면 실수가 됩니다.
참고로 실수 부분 a=0인 경우(단, b≠0)에는 순허수라고 합니다
아까 실수에 대해 후술한다 했던 거 기억나시나요?
복소수라는 개념을 배움으로써 실수에 대해 새로운 정의를 할 수 있게 됩니다
'임의의 실수 a에 대해서 ℑ(a)=0 ⇔ a=a+0i이다. 즉 허수부가 0인 복소수 집합이다.'
참고로 여기서 ℑ 기호는 복소수의 허수 부분을 나타내는 기호인데요, 예를 들어 ℑ(3+4i)=4입니다. 즉, 복소수에서 허수 부분 bi의 계수 b를 나타냅니다.
지금까지 배운 내용을 사진으로 나타내면 이렇게 됩니다(사진 삽입 기능이 고장나서 링크로 올립니다)
https://th.bing.com/th/id/OIP.VB1DaUHubcsKOPEMczBpXQHaD5?rs=1&pid=ImgDetMain
여기까지가 고등학교까지의 교육 과정에서 배우는 수의 체계인데요, 반응이 좋거나 사원수, 팔원수 등의 더 넓은 범위의 수의 체계를 원하시는 분들이 많다면 기꺼이(?) 제작하겠습니다.
초등학교~고등학교까지의 모든 수의 체계를 정리하다 보니 글이 너무 길어졌네요.(글 쓰면서 1시간 30분 넘게 걸렸습니다)
수의 체계를 정리해놓은 글을 복사 붙여넣기 하려고도 했는데, 마땅하게 초~고까지의 수의 체계를 모두 잘 정리해놓은 글이 없어서 포기하고 제가 직접 글로 다 썼습니다. 복붙하면 제곱이나 루트 같은 기호가 깨지는 것도 있고요.
어쨌든 요약하면 열심히 썼으니 선플, 아니 선플 달라 했다간 무플 될 거 같은데 무플보단 악플이 좋다는 말이 있으니 악플이라도 달아주세요(?)
(하루 뒤)
나의 블로그에 9999개의 '악플'이 있습니다
가 되진 않으리라 믿습니다
어쨌든 긴 글 읽어주셔서 감사합니다~~
(다음 주제 많은 신청 부탁드려요!)
